מערכות בקרה 1 סיכום *מסמך זה הינו סיכום הקורס, שברובו מכיל חומר מהתרגולים עם תוספות, אך אינו מסמך רשמי של הקורס. f1 f1... f x1 x n u f f A=.. B= x x= xe u x= xe u= ue f u ue n f = n f... x1 x n u g h h g C=... D x x x u x= xe x= x 1 n e u= ue u= ue כאשר: מעבר ממשוואת מצב לפונק' תמסורת: H s = C si A B+ D ( ) ( ) 1 - אם המערכת נתונה כפונקצית תמסורת, ניתן למצוא את (s Y, ( ולהעביר למשוואה דיפ' ע"י לפלס. K G T( s) - פונקצית תמסורת באופן כללי: = 1 ± K G H
a a > 0 ; a > ; a > 0 3 1 2 3 a1 a( s) = s + a s + a s+ a 3 2 1 2 3 עבור n= 3 : (תנאים מספיקים) ליציבות
טיפ: ניתן לפרק פולינום ממעלה גבוהה לכמה פולינומים ממעלה נמוכה יותר ואז לעבוד עם הכללים הבסיסיים. כלומר: (פולינום ממעלה 1) * (פולינום ממעלה 3) = (פולינום ממעלה 4)
הריסונים השונים ω n > 0 ζ > 1 ריסון יתר: ζ =1 ריסון קריטי: 0< ζ < 1 תת ריסון: ζ = 0 מערכת לא מרוסנת: ζ < 0 מערכת לא יציבה:
הערות: - אין לבצע צמצומים אלא אם כן נתבקש במפורש. - לפני יישום הכללים, יש להביא את המערכת לצורת בודה, כדי לא לאבד את הגבר ה.DC השפעת אפס וקוטב נוסף על המערכת T( s) T0( s) 1 s = + a 1 d y( t) = y0( t) + y0( t) a dt הוספת אפס: התגובה למדרגה תהייה: - - - - הערות: ניתן לראות שככל ש- a גדול יותר, כך האפס הנוסף משפיע פחות. באופן כללי, גוזר משפר את היציבות ואת מהירות התגובה הזמנית. מערכת יציבה עם אפס בצד ימין של מישור ( 0>a ) s נקראת: "ללא מינימום פאזה". אין שינוי בערכים עצמיים של המערכת. ( ) ( ) T s T s 1 1 s + p = 0 הוספת קוטב (יציב בלבד): קטנה יותר, המערכת איטית יותר (קוטב קרוב יותר לראשית, והמע' מתקרבת למע' p - נוכל לראות שככול ש- = β ζωn מסדר ראשון). - באופן כללי, אינטגרטור פוגע ביציבות אך גם מקטין את שגיאת המצב המתמיד (שהמערכת יציבה).
עבור < 0 ς, הקטבים לא יציבים, מכאן שגם המערכת לא יציבה. ככל ש- ς יותר גדול, כך הוא מתחיל להשפיע יותר מוקדם אבל פחות חזק. ς קטן יגרום להגבר תהודה גדול, ואז יהיה פיק גבוה יותר בעקום האמיתי. - - - חשיבות : ς. הערות חשובות
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H ωb H ωa H ωb H ωa a= = log ω log ω log( ω ω ) B A B A - מציאת שיפוע בגרף: ω1 ω2 > ω1 x x 1 ω < ω 1 1 2 tan tan 1 = ( x) = π - נוסחאות קרוב שימושיות בחישוב פאזה: 1 ω2 π ω2 x> 1 ω1 > ω 2 2 x 2 ω1, 20log k אלא אם כן יש גוזר (אפס בראשית) או אינטגרטור (קוטב בראשית). π. + 2 n ( ) = ( ) * H s H s.( - עקום ההגבר מתחיל מ- - עקום הפאזה מתחיל מ- 0 אלא אם כן יש אפס בראשית מסדר, n אז הוא יתחיל מ- - עבור >k 0 יש היסט של π בגרף הפאזה. - קוטב יציב מוריד את ההגבר ואת הפאזה, אפס יציב מעלה את ההגבר ואת הפאזה. - עקום בודה של פונקצית התמסורת הצמודה, יהיה זהה בהגבר ובפאזה נגדית (הסבר: מאפייני תגובת תדר של מערכת בקרה עודף הגבר Margin) (Gain הינו היחס בו ניתן להגדיל את הגבר המערכת עד להגיעו לערך Db) 1 0) עבור התדר בו הפאזה מקבלת ערך של 180 -. GM = 20log G( jw ) G jw = 10 ( ) 180 0 ערכים מקובלים של GM במערכות הנדסיות. 6 10Db עודף הפאזה Margin) (Phase הינו ההפרש בין פאזת המערכת ל- 180 - עבור התדר בו הגבר המערכת הינו Db) 1 0). תדר זה נקרא crossover frequency (תדר חציה) ומסומן ב- ω. CO PM = G( jw ) + 180 G( jw) = 1 0. 30 60 0 0 ערכים מקובלים של PM במערכות הנדסיות ניתן לראות את GM ו- PM בדיאגרמת בודה:
לדוגמא: הערה: חוג פתוח מתואר כך - Y( s) = R K G H( s) T( s) = K G כאשר פונקצית התמסורת של החוג הפתוח הינה: (s )H
עודף הגבר בפשטות, הינו היחס בו ניתן להגדיל את הגבר המערכת עבור עקום נייקוויסט כאן, ניתן לראות שאם נגדיל את ההגבר K פי 1α, נקבל הקפה סביב 1-, כלומר המערכת תצא מיציבות. זהו עודף ההגבר. כמובן שנעדיף עודף הגבר גדול ככל שניתן, כדי שלא כל רעש יוציא את המערכת מיציבות. α היא נק' חיתוך עקום נייקוויסט את הציר הממשי השלילי. מתקבלת עבור התדר בה. GH( jω ) 180 o g = 1 1 G. M = = GH j α ( ωg), K ושעדיין המערכת לא תצא מיציבות. באותו אופן, עודף הפאזה הינו הזווית אותה ניתן להוסיף למערכת מבלי שהיא תצא מיציבות. j הוספת פאזה הכפלה ב-. K = e θ מבחינת עקום נייקוויסט, עודף הפאזה הינה הזווית שבה גודל העקום הוא 1, כי אם נוסיף זווית זו לעקום אז תתבצע הקפה סביב 1- המערכת תצא מיציבות.. ( ) P. M = 180 o + GH jωco הערות: - גודל ההגבר שווה 1 עקום בודה שווה 0..P קטן ריסון נמוך). M ) פרופורציוני לריסון המערכת.P M -
e( t) = r( t) y( t) ( ) ( 1 ( )) T ( s) e באופן כללי, עבור ( ) E s = T s R s (s Te( הינה פונק' התמסורת בין ל- s). E( נקבל: כאשר R( s)
. PI נשתמש ברשת פיגור או בקר,( e, t. PD נשתמש ברשת קידום או בקר,( P. M, G. M, ωbw PI : KI s+ z KP+ = K s s PD : K + K s= K s+ z P D ( ). ω max =. 1.5< β < 1.7 בנוסף מתקיים ω co p, v, a ss p, v, a תכן בתדר שיטת עבודה: - עבור הדרישות הסטטיות ) - אם יש צורך בתיקון מאפיינים דינאמיים ) - מתחילים עם בחירת. β אם לא נתון אזי בד"כ נבחר. ω בד"כ יינתן אחד הערכים. G s jω c. o ( = ) + 180 BW z 1 sin α = = p 1 + sin : = β ω ( θmax) ( θ ) max co - מתקיים - נחשב את מציאת - נחשב את z. ωmax,z, בעזרת הקשרים לעיל ובעזרת = - כעת יש למצוא את p α s 1+. GH( j ω H( s) K z co ) = 1= 0 db ω, co כלומר בתדר זה - למציאת : K =. נדרוש שיתקיים s 1+ p ). e ss אם היא לא מתאימה, נוסיף רשת פיגור כאשר הפקטור החסר לנו - כעת נבדוק את שגיאת המצב המתמיד ) ישמש לנו כ- α). > (1 α הסבר:
חשוב: - קונטרולביליות ואובזרווביליות הינן תכונת של מימוש ולא של פונק' תמסורת!! - עובדים רק עם מערכות. Stricly Proper אם נתון אחרת, ניתן לחלק פולינומים. הערה: אם נחליף כניסה ביציאה, מסכם למפצל ונהפוך את כיוון החיצים נקבל מימוש אובזרוור.
הערה: כל פונק' תמסורת ניתן למימוש בעזרת אובזרוור (אפילו אם יש בה צמצומים) ואז היא אובזרוובילית. באותו אופן עבור קונטרולר.
[ 1] u n u [ 0] = n [ ] [ 0] 1 C x n A x שימושים במטריצות האובזרווביליות והקונטרולביליות: x [ 0] O [ ] 1 = [ ] y 0 u 0 y[ n 1] u[ n 1]
T C C = 1 1 2 old new!שים לב:
בקרה ע"י משוב מצב x = Ax + Bu y= Cx t) u( t) = r( t) kx( שיעמוד בדרישות הנתונות. נתונה מערכת: נרצה לבנות בקר מהצורה המערכת עם המשוב נראית כך: r( t ) וכי = 0 ( Ac, Bc, Cc נניח ראשית כי המערכת נתונה בצורת קונטרולר ) (בעיית רגולציה). אזי. u= k x c.α( s) A B k c c c. x = ( Ac Bckc) החוג הסגור במקרה זה הינו: x n n אם החוג הסגור הרצוי הוא, α s = s + α s α + אז נדרוש כי הפ"א של יהיה. α = a + k k = α a i i ci ci i i n i s ( ולכן נדרוש: ( ) 1 a i 1 + k ci n A B k c c c מקדמי הפ"א של לכן, אם נסמן: הינם (עבור החזקה [ ], [ ] a= a a α = α α 1 n 1 n [ ] k = k k = α a c1 cn נקבל:. A, B C c x=, כאשר CC x 1 c c עבור מקרה קונטרולבילי כללי, יידוע כי 1 אזי,. u= kcxc = kcccc x= kx k = α לכן, במקרה הכללי נקבל את הנוסחא: a C C הינה מטריצת הקונט' של ( ) 1 c דרך נוספת השוואת מקדמים n n 1 ( s) s 1s A+ ac( s) = det( si (מכנה פונק' Bk) n n 1 ( s) = s + s + = ( si A+ Bk) = a ( s) α = + α + α n פ"א רצוי: פ"א מצוי בחוג הסגור: את k נוכל לחלץ מתוך התמסורת בחוג הסגור) α α1 αn ע"י השוואת המקדמים. det הערות - אם המערכת קונט', אזי ניתן למקם את קטבי המערכת כרצוננו. - משוב מצב אינו משפיע על אפסי החוג (אלא ע"י צמצום). c
ביצוע תכן שתי גישות T : 2 מעבר לזמן רציף: ה- ZOH נותן השהייה של בערך באופן כללי: כאן נבצע המרה של - כעת נבצע תכן בזמן רציף של כאשר: ( ) G s 1 = G st 1+ 2 ) ( עבור s) H(. Gɶ s 1 1 1 z 2 1 Z שתי המרות אפשריות של s (גוזר): s s ; 1 T T 1 + Z הערה : בזמן רציף העדפנו קטבים דומיננטיים כמה שיותר שמאלה וכמה שיותר קרובים לציר x. באופן דומה, בזמן בדיד, נעדיף קטבים כמה שיותר קרובים לראשית (בתוך מעגל היחידה).